【向量相乘公式是什么】在数学和物理中，向量是具有大小和方向的量。向量之间可以进行多种运算，其中“相乘”是最常见的操作之一。但需要注意的是，向量的“乘法”并不是像标量那样简单，而是有多种不同的形式。最常见的向量相乘方式包括点积（数量积）和叉积（向量积），它们在物理、工程和计算机图形学中都有广泛应用。

以下是对这两种向量相乘方式的总结：

一、点积（数量积）

定义：两个向量的点积是一个标量，表示两个向量之间的夹角余弦值与各自模长的乘积。

公式：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \vec{b} \cos\theta

$$

其中，$\theta$ 是两个向量之间的夹角。

另一种计算方式（坐标形式）：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3

$$

特点：

- 结果为标量；

- 可用于判断两向量是否垂直（点积为0时垂直）；

- 常用于计算力在某一方向上的投影。

二、叉积（向量积）

定义：两个向量的叉积是一个新的向量，其方向垂直于这两个向量所在的平面，大小等于两个向量所构成平行四边形的面积。

公式：

$$

\vec{a} \times \vec{b} = \vec{a} \vec{b} \sin\theta \cdot \hat{n}

$$

其中，$\theta$ 是两个向量之间的夹角，$\hat{n}$ 是垂直于 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的单位向量（方向由右手定则确定）。

坐标形式（三维空间）：

$$

\vec{a} \times \vec{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

特点：

- 结果为向量；

- 方向由右手定则决定；

- 常用于计算旋转、扭矩、磁场等物理问题。

三、总结对比表

通过上述内容可以看出，向量相乘并非单一的操作，而是根据不同的应用场景选择不同的方法。理解点积和叉积的区别与联系，有助于更好地掌握向量运算在实际问题中的应用。