【向量叉乘的几何意义是什么】向量叉乘（也称为向量积或外积）是三维空间中两个向量之间的一种运算，其结果是一个与原两向量都垂直的向量。它在物理、工程和计算机图形学等领域有广泛应用。理解其几何意义有助于更好地掌握向量运算的本质。
一、向量叉乘的定义
设两个向量为 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的叉乘记作 a × b，其计算公式为：
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a \times b = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)
$$
二、几何意义总结
| 项目 | 内容 | ||||||
| 结果方向 | 叉乘的结果向量 a × b 垂直于 a 和 b 所在的平面，方向由右手定则决定。 | ||||||
| 模长 | 向量叉乘的模长等于由 a 和 b 构成的平行四边形的面积。即：$ | a × b | = | a | b | \sin\theta $，其中 θ 是两向量之间的夹角。 | |
| 应用领域 | 用于计算旋转、力矩、法线向量、三维图形变换等。 | ||||||
| 方向判断 | 使用右手定则：伸出右手，食指指向 a 的方向，中指指向 b 的方向，拇指方向即为 a × b 的方向。 | ||||||
| 特殊情况 | 若 a 与 b 平行，则 a × b = 0（零向量），因为夹角为 0° 或 180°，sinθ=0。 |
三、总结
向量叉乘不仅是一个数学运算，更具有明确的几何含义。它能直观地反映出两个向量之间的“垂直程度”以及它们所围成区域的大小。通过叉乘，我们可以在三维空间中进行更复杂的几何分析和物理建模。
结论：
向量叉乘的几何意义在于它表示了两个向量所形成的平面的法向量，并且其模长反映了这两个向量构成的平行四边形的面积。这一特性使得叉乘成为处理三维空间问题的重要工具。
