【向量相乘公式是什么】在数学和物理中，向量是重要的概念，常用于描述具有大小和方向的量。向量之间的运算包括加法、减法、数乘以及乘法。其中，向量相乘有两种主要形式：点积（标量积）和叉积（向量积）。它们在不同领域有着广泛的应用，如力学、电磁学、计算机图形学等。
以下是对两种常见向量相乘方式的总结与对比：
一、向量相乘的类型
1. 点积（Scalar Product / Dot Product）
点积的结果是一个标量，表示两个向量之间的夹角余弦值与两向量模长的乘积。
2. 叉积（Vector Product / Cross Product）
叉积的结果是一个向量，其方向垂直于原两个向量所形成的平面，大小等于两个向量构成的平行四边形面积。
二、向量相乘公式总结
| 项目 | 点积（Dot Product） | 叉积（Cross Product） | ||||||||
| 定义 | $ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = | \mathbf{a} | \mathbf{b} | \cos\theta $ | $ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = | \mathbf{a} | \mathbf{b} | \sin\theta \, \mathbf{n} $ | ||
| 结果类型 | 标量 | 向量 | ||||||||
| 方向 | 无方向 | 垂直于两向量所在平面（由右手定则确定） | ||||||||
| 公式展开（坐标形式） | $ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z $ | $ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_y b_z - a_z b_y, a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x) $ | ||||||||
| 应用场景 | 功、投影、角度计算 | 力矩、磁场、旋转方向等 |
三、使用示例
点积示例：
设向量 $ \mathbf{a} = (2, 3, 4) $，$ \mathbf{b} = (1, -1, 2) $，则：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \times 1 + 3 \times (-1) + 4 \times 2 = 2 - 3 + 8 = 7
$$
叉积示例：
同样取 $ \mathbf{a} = (2, 3, 4) $，$ \mathbf{b} = (1, -1, 2) $，则：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
2 & 3 & 4 \\
1 & -1 & 2 \\
\end{vmatrix}
= (3 \cdot 2 - 4 \cdot (-1))\mathbf{i} - (2 \cdot 2 - 4 \cdot 1)\mathbf{j} + (2 \cdot (-1) - 3 \cdot 1)\mathbf{k}
$$
$$
= (6 + 4)\mathbf{i} - (4 - 4)\mathbf{j} + (-2 - 3)\mathbf{k} = 10\mathbf{i} + 0\mathbf{j} -5\mathbf{k} = (10, 0, -5)
$$
四、总结
向量相乘公式主要包括点积和叉积两种形式，它们分别用于不同的物理和数学问题中。点积适用于计算角度、投影和能量相关的问题；而叉积则常用于涉及方向和旋转的场合。掌握这两种运算方法，有助于更深入地理解向量在实际应用中的作用。
