【什么叫正交矩阵】正交矩阵是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。它具有特殊的性质，使得在计算和应用中非常方便。以下是对正交矩阵的总结及关键性质的表格说明。
一、正交矩阵的定义
正交矩阵（Orthogonal Matrix）是一个方阵，其列向量（或行向量）两两正交且都是单位向量。换句话说，正交矩阵满足以下条件：
$$
Q^T Q = I
$$
其中，$ Q $ 是一个方阵，$ Q^T $ 是它的转置矩阵，$ I $ 是单位矩阵。
等价地，也可以表示为：
$$
QQ^T = I
$$
这意味着正交矩阵的逆矩阵等于它的转置矩阵，即：
$$
Q^{-1} = Q^T
$$
二、正交矩阵的性质总结
| 性质 | 描述 | ||||
| 1. 列向量正交 | 正交矩阵的列向量两两正交，且每个列向量的长度为1。 | ||||
| 2. 行向量正交 | 同理，行向量也两两正交且长度为1。 | ||||
| 3. 逆等于转置 | $ Q^{-1} = Q^T $，这是正交矩阵的重要特征之一。 | ||||
| 4. 保持向量长度 | 对任意向量 $ v $，有 $ \ | Qv\ | = \ | v\ | $，即正交矩阵不改变向量的长度。 |
| 5. 保持内积 | 对任意两个向量 $ u, v $，有 $ (Qu) \cdot (Qv) = u \cdot v $，即正交矩阵保持向量之间的夹角和内积。 | ||||
| 6. 行列式值为 ±1 | 正交矩阵的行列式值为 1 或 -1，这表明它代表的是旋转或反射操作。 | ||||
| 7. 特征值模为1 | 正交矩阵的特征值都在单位圆上，即模长为1。 |
三、正交矩阵的应用
正交矩阵在多个领域都有广泛应用，例如：
- 几何变换：用于表示旋转、反射等刚体变换。
- 数值分析：在求解线性方程组、特征值问题时，使用正交矩阵可以提高计算的稳定性和效率。
- 信号处理：如傅里叶变换、小波变换等常用正交基进行展开。
- 数据压缩：通过正交变换（如PCA）实现数据降维和特征提取。
四、举例说明
考虑如下矩阵：
$$
Q = \begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}
$$
这是一个典型的正交矩阵，因为其列向量是正交的单位向量，且满足 $ Q^T Q = I $。该矩阵表示一个绕原点的二维旋转。
五、总结
正交矩阵是一种具有特殊结构的方阵，其列（或行）向量两两正交且为单位向量。它在数学和工程中具有重要价值，尤其在保持向量长度和角度方面表现优异。掌握正交矩阵的性质和应用，有助于更深入理解线性代数及相关领域的知识。
