【等差等比数列公式】在数学中，数列是按照一定顺序排列的一组数。其中，等差数列和等比数列是最常见的两种数列类型，它们在数列学习中占据重要地位。掌握它们的公式，有助于快速求解相关问题。以下是对等差数列和等比数列公式的总结。
一、等差数列
定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个常数，这样的数列叫做等差数列。这个常数称为公差，记作 $ d $。
通项公式：
$$ a_n = a_1 + (n - 1)d $$
其中，$ a_1 $ 是首项，$ n $ 是项数，$ d $ 是公差。
前 $ n $ 项和公式：
$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $$
二、等比数列
定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是一个常数，这样的数列叫做等比数列。这个常数称为公比，记作 $ r $。
通项公式：
$$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $$
其中，$ a_1 $ 是首项，$ n $ 是项数，$ r $ 是公比。
前 $ n $ 项和公式：
当 $ r \neq 1 $ 时，
$$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $$
或
$$ S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $$
三、等差数列与等比数列对比表
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 |
| 定义 | 每项与前一项的差为常数 | 每项与前一项的比为常数 |
| 公差 | $ d $ | 无（用“公比”表示） |
| 公比 | 无 | $ r $ |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ |
| 前 $ n $ 项和 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ |
| 特殊情况 | 当 $ d = 0 $ 时为常数列 | 当 $ r = 1 $ 时为常数列 |
四、小结
等差数列和等比数列是数列学习中的基础内容，掌握它们的通项公式和前 $ n $ 项和公式，能够帮助我们更高效地解决实际问题。在应用时要注意区分两者的不同点，尤其是公差与公比的区别以及求和公式的使用条件。通过不断练习，可以更好地理解和运用这些公式。
