【偶函数加奇函数是什么函数】在数学中，函数的奇偶性是研究函数对称性质的重要工具。偶函数和奇函数分别具有不同的对称特性：偶函数关于y轴对称，而奇函数关于原点对称。当我们将一个偶函数与一个奇函数相加时，它们的组合结果会呈现出怎样的性质呢？下面将通过总结与表格的形式，详细说明这一问题。
一、基本概念回顾
- 偶函数：满足 $ f(-x) = f(x) $ 的函数，例如 $ f(x) = x^2 $。
- 奇函数：满足 $ f(-x) = -f(x) $ 的函数，例如 $ f(x) = x $。
二、偶函数加奇函数的结果分析
当一个偶函数 $ f(x) $ 与一个奇函数 $ g(x) $ 相加时，得到的新函数为：
$$
h(x) = f(x) + g(x)
$$
我们来分析这个新函数 $ h(x) $ 的奇偶性：
1. 计算 $ h(-x) $：
$$
h(-x) = f(-x) + g(-x)
$$
2. 根据定义代入：
- 因为 $ f $ 是偶函数，所以 $ f(-x) = f(x) $
- 因为 $ g $ 是奇函数，所以 $ g(-x) = -g(x) $
3. 代入后得：
$$
h(-x) = f(x) - g(x)
$$
4. 比较 $ h(-x) $ 与 $ h(x) $：
- 若 $ h(-x) = h(x) $，则 $ h $ 是偶函数
- 若 $ h(-x) = -h(x) $，则 $ h $ 是奇函数
- 否则，既不是偶函数也不是奇函数
从上面可以看出：
$$
h(-x) = f(x) - g(x) \neq h(x) = f(x) + g(x)
$$
$$
h(-x) = f(x) - g(x) \neq -h(x) = -f(x) - g(x)
$$
因此，偶函数与奇函数的和一般既不是偶函数也不是奇函数，除非某些特殊情况下（如其中一个函数恒为0）。
三、结论总结
| 情况 | 偶函数 + 奇函数 | 结果 |
| 一般情况 | $ f(x) + g(x) $ | 既非偶函数也非奇函数 |
| 若 $ g(x) = 0 $ | $ f(x) + 0 $ | 偶函数 |
| 若 $ f(x) = 0 $ | $ 0 + g(x) $ | 奇函数 |
四、举例说明
- $ f(x) = x^2 $（偶函数），$ g(x) = x $（奇函数）
- $ h(x) = x^2 + x $
- $ h(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 - x \neq h(x) $ 且 $ \neq -h(x) $
- 所以 $ h(x) $ 既不是偶函数也不是奇函数
五、小结
偶函数与奇函数的和通常不具有奇偶性，只有在特定条件下（如其中一个函数为零）才会保持奇偶性。因此，在进行函数运算时，需要具体分析各部分的性质，才能准确判断结果的对称性。
