【欧几里得算法】欧几里得算法，又称辗转相除法，是数学中一种经典的求两个整数最大公约数（GCD）的方法。该算法由古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》中提出，至今仍被广泛应用于数论、密码学和计算机科学等领域。
欧几里得算法的核心思想是：利用两个数的余数不断进行递归或迭代，直到余数为零时，此时的除数即为两数的最大公约数。这一方法不仅高效，而且逻辑清晰，易于实现。
欧几里得算法步骤总结：
1. 输入：两个正整数 $ a $ 和 $ b $，假设 $ a > b $。
2. 计算：用较大的数除以较小的数，得到余数 $ r $。
3. 替换：将 $ b $ 作为新的 $ a $，$ r $ 作为新的 $ b $。
4. 重复：重复上述步骤，直到余数为 0。
5. 结果：当余数为 0 时，此时的除数就是最大公约数。
示例演示
| 步骤 | a | b | 计算 | 余数 r |
| 1 | 48 | 18 | 48 ÷ 18 | 12 |
| 2 | 18 | 12 | 18 ÷ 12 | 6 |
| 3 | 12 | 6 | 12 ÷ 6 | 0 |
最终结果：最大公约数为 6。
欧几里得算法的特点
| 特点 | 描述 |
| 高效性 | 时间复杂度为 $ O(\log \min(a, b)) $，适合大数运算 |
| 简单易实现 | 仅需基本的除法与取余操作，代码实现简单 |
| 应用广泛 | 在密码学（如RSA）、数据压缩、分数化简等领域有重要应用 |
| 可扩展性强 | 可用于求解多个数的最大公约数，也可用于求最小公倍数（LCM） |
总结
欧几里得算法是一种简洁而强大的数学工具，其原理基于余数的性质，通过不断缩小问题规模来找到两个数的最大公约数。它不仅是数学教育中的重要内容，也是现代计算机科学中不可或缺的基础算法之一。掌握这一算法有助于理解更复杂的数论问题，并在实际编程中提高效率和准确性。
