在物理学中，法向加速度是描述物体沿曲线运动时，其速度方向发生改变所产生的加速度分量。它通常出现在圆周运动或更复杂的曲线路径中。理解法向加速度的来源和计算方法对于深入掌握动力学至关重要。

假设一个质点以恒定速率v沿着半径为r的圆形轨道运动。虽然该质点的速度大小不变，但它的方向不断变化。这种方向的变化就导致了法向加速度的存在。

为了推导出法向加速度的公式，我们首先需要了解矢量的变化率。当时间间隔Δt趋近于零时，位移矢量的变化率定义了速度矢量。同样地，速度矢量的变化率则定义了加速度矢量。

考虑两个非常接近的时间点t和t+Δt，在这两个时刻，质点的位置分别由矢量r(t)和r(t+Δt)表示。这两个位置矢量之间的差值构成了位移矢量Δr。通过取极限得到瞬时速度矢量v=dr/dt。类似地，通过对速度矢量求导数可以得到加速度矢量a=dv/dt。

对于圆周运动而言，由于轨迹是对称的，所以加速度的方向总是指向圆心，即法向方向。因此，我们可以将加速度分解成切向分量和法向分量。其中，切向分量与速度同向或者反向，而法向分量仅改变速度的方向。

利用几何关系可知，当角度Δθ趋于零时，弧长s=rΔθ近似等于弦长|Δr|。由此可得单位时间内速度方向改变的角度Δθ/Δt等于v/r。进一步地，当Δt趋于零时，我们得到了法向加速度an=v²/r。

综上所述，通过分析质点在圆周上的运动规律，并结合矢量微积分的基本原理，我们成功推导出了法向加速度的表达式an=v²/r。这一结果表明，法向加速度不仅取决于速度的大小，还依赖于轨道曲率半径的大小。当轨道半径增大时，所需的法向加速度减小；反之亦然。

以上就是关于法向加速度公式的完整推导过程。希望读者能够从中获得启发，并将其应用于解决实际问题当中。