【等比数列的性质】等比数列是数列中非常重要的一类，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，称为公比。在学习和应用等比数列时，掌握其基本性质有助于更好地理解和解决问题。以下是对等比数列主要性质的总结。
一、等比数列的基本定义
设一个数列为 $ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n $，若满足：
$$
\frac{a_{n}}{a_{n-1}} = r \quad (n \geq 2)
$$
其中 $ r $ 是一个常数，称为公比，则该数列为等比数列。
二、等比数列的主要性质总结
| 性质编号 | 性质描述 | 公式表达 |
| 1 | 等比数列的通项公式 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ |
| 2 | 任意两项的比值等于它们的项数差的幂次 | $ \frac{a_m}{a_n} = r^{m-n} $ |
| 3 | 若 $ m + n = p + q $，则 $ a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q $ | —— |
| 4 | 等比数列中相邻三项成等比关系 | $ a_{n-1} \cdot a_{n+1} = a_n^2 $（当 $ n \geq 2 $） |
| 5 | 等比数列的前 $ n $ 项和公式（当 $ r \neq 1 $） | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ |
| 6 | 当 $ r = 1 $ 时，等比数列为常数列 | $ S_n = n \cdot a_1 $ |
| 7 | 若 $ r > 1 $，数列递增；若 $ 0 < r < 1 $，数列递减；若 $ r < 0 $，数列符号交替 | —— |
| 8 | 等比数列的子数列仍为等比数列（如每隔一项取一个数） | —— |
三、典型例题解析
例题1：
已知等比数列中 $ a_3 = 12 $，$ a_5 = 48 $，求公比 $ r $。
解：
根据通项公式：
$ a_3 = a_1 \cdot r^2 = 12 $
$ a_5 = a_1 \cdot r^4 = 48 $
两式相除得：
$ \frac{a_5}{a_3} = \frac{a_1 \cdot r^4}{a_1 \cdot r^2} = r^2 = 4 $
所以 $ r = 2 $ 或 $ r = -2 $
例题2：
等比数列中 $ a_1 = 3 $，公比 $ r = \frac{1}{2} $，求前 5 项和。
解：
使用公式：
$ S_5 = 3 \cdot \frac{1 - (\frac{1}{2})^5}{1 - \frac{1}{2}} = 3 \cdot \frac{1 - \frac{1}{32}}{\frac{1}{2}} = 3 \cdot \frac{31}{32} \cdot 2 = \frac{93}{16} $
四、总结
等比数列的性质不仅帮助我们理解数列的结构，还能在实际问题中快速找到解题思路。掌握这些性质，可以提高解题效率，避免重复计算，尤其在考试或竞赛中具有重要意义。通过不断练习，能够更加熟练地运用这些性质解决各类等比数列问题。
