【两向量垂直的公式】在向量运算中，判断两个向量是否垂直是一个常见的问题。两向量垂直意味着它们之间的夹角为90度，这在几何、物理和工程等领域有着广泛的应用。本文将总结两向量垂直的判定公式，并以表格形式清晰展示。
一、两向量垂直的定义
如果两个非零向量 a 和 b 的夹角为90°，则称这两个向量垂直。在数学中，垂直关系可以通过向量的点积（内积）来判断。
二、两向量垂直的判定公式
设向量 a = (a₁, a₂)，向量 b = (b₁, b₂)，则：
- 点积公式：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2
$$
- 垂直条件：
当且仅当：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0
$$
即：两个向量的点积等于0时，它们垂直。
三、不同维度下的垂直条件
| 维度 | 向量表示 | 垂直条件 |
| 2D | a = (a₁, a₂) | a₁b₁ + a₂b₂ = 0 |
| 3D | a = (a₁, a₂, a₃) | a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = 0 |
| nD | a = (a₁, a₂, ..., aₙ) | Σ(a_i b_i) = 0 (i=1到n) |
四、应用举例
例1：
向量 a = (3, 4)，向量 b = (-4, 3)
计算点积：
$$
3 \times (-4) + 4 \times 3 = -12 + 12 = 0
$$
因此，a ⊥ b。
例2：
向量 a = (1, 2, -3)，向量 b = (2, -1, 0)
计算点积：
$$
1 \times 2 + 2 \times (-1) + (-3) \times 0 = 2 - 2 + 0 = 0
$$
因此，a ⊥ b。
五、总结
判断两个向量是否垂直的核心在于它们的点积是否为零。这一方法适用于二维、三维乃至更高维空间中的向量。掌握这一公式，有助于在实际问题中快速判断向量之间的关系，提升解题效率。
表格总结：
| 项目 | 内容 |
| 判定依据 | 向量点积为0 |
| 公式 | $ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 $ |
| 适用维度 | 任意维度（2D、3D、nD） |
| 应用场景 | 几何、物理、工程、计算机图形学等 |
