【常用不定积分公式】在微积分的学习和应用中，不定积分是基础且重要的内容。掌握常用的不定积分公式，有助于快速求解各类积分问题。以下是一些常见的不定积分公式及其总结，便于查阅与记忆。
一、基本函数的不定积分
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ | ||
| $ x^n $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ |
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | ||
| $ a^x $ | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $（$ a > 0, a \ne 1 $） | ||
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | ||
| $ \tan x $ | $ -\ln | \cos x | + C $ |
| $ \cot x $ | $ \ln | \sin x | + C $ |
| $ \sec^2 x $ | $ \tan x + C $ | ||
| $ \csc^2 x $ | $ -\cot x + C $ |
二、三角函数的不定积分
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ | ||
| $ \sec x $ | $ \ln | \sec x + \tan x | + C $ |
| $ \csc x $ | $ -\ln | \csc x + \cot x | + C $ |
| $ \sec x \tan x $ | $ \sec x + C $ | ||
| $ \csc x \cot x $ | $ -\csc x + C $ |
三、反三角函数的不定积分
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ |
| $ \frac{1}{1 + x^2} $ | $ \arctan x + C $ |
| $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | $ \arcsin x + C $ |
| $ \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | $ \arccos x + C $ |
| $ \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \frac{1}{a} \arctan \left( \frac{x}{a} \right) + C $ |
| $ \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} $ | $ \arcsin \left( \frac{x}{a} \right) + C $ |
四、其他常见形式
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ | ||
| $ \frac{1}{x \ln x} $ | $ \ln | \ln x | + C $ |
| $ \frac{1}{x^2 - a^2} $ | $ \frac{1}{2a} \ln \left | \frac{x - a}{x + a} \right | + C $ |
| $ \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} $ | $ \ln \left | x + \sqrt{x^2 + a^2} \right | + C $ |
| $ \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} $ | $ \ln \left | x + \sqrt{x^2 - a^2} \right | + C $ |
五、小结
以上列出的是在数学分析中较为常见的一些不定积分公式。它们不仅适用于初等数学，也在工程、物理、经济学等多个领域有广泛应用。掌握这些公式，能够提高解题效率，并为后续学习更复杂的积分技巧打下坚实的基础。
建议在实际应用时，结合具体的题目背景进行选择和验证，避免因公式适用范围不清而产生错误。
