【高阶导数十个常用公式】在微积分的学习中，高阶导数是一个重要的概念，尤其在数学分析、物理和工程领域中应用广泛。掌握一些常见的高阶导数公式，能够帮助我们更高效地进行计算与推导。以下是对一些常见函数的高阶导数公式的总结，并以表格形式呈现，便于查阅与记忆。
一、基本初等函数的高阶导数
| 函数 | 一阶导数 | 二阶导数 | 三阶导数 | n阶导数（n≥1） |
| $ x^n $ | $ nx^{n-1} $ | $ n(n-1)x^{n-2} $ | $ n(n-1)(n-2)x^{n-3} $ | $ \frac{n!}{(n-k)!}x^{n-k} $（k≤n） |
| $ e^x $ | $ e^x $ | $ e^x $ | $ e^x $ | $ e^x $ |
| $ a^x $ | $ a^x \ln a $ | $ a^x (\ln a)^2 $ | $ a^x (\ln a)^3 $ | $ a^x (\ln a)^n $ |
| $ \sin x $ | $ \cos x $ | $ -\sin x $ | $ -\cos x $ | $ \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right) $ |
| $ \cos x $ | $ -\sin x $ | $ -\cos x $ | $ \sin x $ | $ \cos\left(x + \frac{n\pi}{2}\right) $ |
| $ \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ | $ -\frac{1}{x^2} $ | $ \frac{2}{x^3} $ | $ (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{x^n} $ |
二、复合函数的高阶导数（莱布尼茨公式）
对于两个可微函数 $ u(x) $ 和 $ v(x) $，它们的乘积的第 $ n $ 阶导数可以用莱布尼茨公式表示为：
$$
(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}
$$
其中，$ \binom{n}{k} $ 是组合数，$ u^{(k)} $ 表示 $ u $ 的 $ k $ 阶导数。
三、特殊函数的高阶导数
| 函数 | n阶导数 |
| $ \frac{1}{x} $ | $ (-1)^n \frac{n!}{x^{n+1}} $ |
| $ \sqrt{x} $ | $ (-1)^{n-1} \frac{(2n-3)!!}{2^n} x^{\frac{1}{2}-n} $（n ≥ 1） |
| $ \arcsin x $ | 与三角函数相关，需分情况讨论，复杂度较高 |
| $ \arctan x $ | 与有理函数相关，也可用泰勒展开法求解 |
四、小结
高阶导数的计算虽然复杂，但通过对常见函数的规律性总结，可以大大简化运算过程。在实际应用中，建议结合具体问题选择合适的求导方法，如直接求导、使用莱布尼茨公式或利用泰勒展开等。掌握这些公式不仅有助于提高计算效率，也有助于深入理解函数的变化特性。
提示： 实际应用时，应根据题目要求灵活选择是否需要计算到特定阶数，避免不必要的重复计算。
